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"人教教材培训"

普通高中课程标准实验教科书·数学必修5(B版)简介

中学数学教材实验研究组

数学5共分三章:解三角形、数列、不等式。

本书供高二年级上学期使用,全书约需36课时,课时分配大致如下:

第一章 解三角形约8课时

第二章 数列约12课时

第三章 不等式约16课时

第一章 解三角形

一、课程学习目标与教科书内容编排

1.主要内容编排

本章的主要内容是正弦定理,余弦定理和应用两个定理解三角形。本章共分两大节。

第一大节,是正弦定理和余弦定理。首先由初中学过的直角三角形的边与角之间的关系,得出“在直角三角形中各边长与对角正弦值的比相等”的结论,然后将此结论推广到任意三角形,从而得出正弦定理,并通过例题说明能用正弦定理求解的三角形的特点,和在已知三角形的二边一对角时,解的个数的三种不同情况。

通过对已知三角形的两边一夹角解三角形的问题的探讨,总结出了余弦定理,并通过例题说明能用余弦定理求解的三角形的特点,并设置了综合应用两个定理解三角形的例题。

本大节把平行四边形和三角形面积公式的推导放在了探索与研究中。

第二大节,是应用举例。本节所提出的四个问题分别是:两个测量问题、物理中力的合成与分解问题、台风预报问题,前三个问题均在分析探索后给出了解答。最后一个台风预报问题的求解,首先将实际问题通过作图,转化为解三角形的问题,将欲求的结论转化为三角形中的未知元素,再去求解。

本章最后安排了实习作业。让学生自己选择一个测量问题,去实地测量和计算,并写出实习报告。

本章知识结构

 

2.作用与地位

本章知识是初中解直角三角形知识的继续,学习本章知识后,学生便掌握了“解三角形”的完整的知识。正弦定理和余弦定理把三角形的边和角有机地联系起来,使“三角”成为研究“几何”问题的重要工具。

通过用解三角形的方法解决有关的实际问题,可以培养学生的数学应用意识,使学生能学会用数学的思维方式去解决问题、认识世界。

3.学习目标

1)掌握正弦定理和余弦定理,能运用两个定理解三角形。

2)能初步应用正弦定理和余弦定理解决一些简单的实际问题。

4.重点与难点

重点:应用正弦定理和余弦定理解三角形和求解某些实际问题。

难点:两个定理的推导'已知两边一对角解三角形的三种不同情况'应用两个定理解决实际问题。

二、本章编写的指导思想

1.注重基础。本章教材继承了传统教材注重“双基”的良好传统,突出了对基础知识的理解和对基本方法的掌握。为了有利于学生理解正弦定理和余弦定理,编写时把重点放在了两个定理的推导过程中,并使推导的思路更加贴近学生的实际。为了有利于学生掌握应用两个定理解三角形的基本方法,编写时把基本题放在了两个定理之后,而把稍有难度的实际应用题放在了第二节应用举例中。强调了第一大节的任务是落实“双基”。

2.注重知识在实践中的应用。本章教材专门设置了应用举例一节,这一节中的每一个例题都有实际背景和实用价值。通过这一节知识的学习,使学生看到了自己身边的数学,从而体会到数学的实用性。本章最后安排的实习作业,给学生设计了一个亲身实践的平台,让学生在测量的实践中,去感受数学、应用数学。

3.注重增强学生的数学思维能力。正弦定理的引入,让学生经历了一个由特殊到一般的思维过程,引导学生运用类比联想的思维方式,得出一个猜想,并对这个猜想加以演绎证明,从而得出一个一般性的规律。在这种观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明的思维过程中,使学生的数学思维能力得到了增强。

4.倡导积极主动,勇于探索的学习方式。教科书把正弦定理中边长与对角正弦的比值与该三角形外接圆直径间关系的探讨,放在正弦定理的后面的探索与研究中,只给了提示,具体的探究过程由学生去思考,结论由学生自己去探索。关于推导平行四边形和三角形的面积计算公式的问题,教科书把它作为本章的第二个探索与研究的课题。这两个探索与研究的课题都是与教材内容密切相关的,它们的结论又有着非常重要的应用价值。

5.注重数学知识在其他学科中的应用。本章教材的第1.2节应用举例中,配备的例,是物理中力的合成和分解的问题,通过这个例题的求解,使学生真正体会了数学是研究其他学科的工具,数学的发展对促进其他学科的发展起着十分重要的作用。

6.注重与初中所学平面几何知识的衔接。在本章小结的交流与思考中,提出的第4个问题是:研究运用正弦定理与余弦定理解三角形与三角形全等条件之间的关系,使学生认识到数学知识的整体性。

三、本章编写时关注的几个问题

1.说清道理,展示过程。本章教材对正弦定理和余弦定理采取了两种不同的说理方式:正弦定理是在特殊情况下,直接归纳出结论,提出猜想,然后对结论加以证明,是先知结论,后证明的过程;而余弦定理的说理过程是提出问题后,以探索结论的形式展开的。采取不同的说理过程,有利于学生理解两个定理的本质是揭示三角形中的边与角间的关系,其作用是使边和角可以相互转化。

2.温故知新,降低本章知识的起点。传统教材曾以三角形的面积公式 导出正弦定理,其起点为高中所学知识#本教材以初中学过的锐角三角函数定义入手,达到了温故知新,降低知识起点的目的#同时可使学生明白正弦定理和余弦定理也适用于直角三角形,解三角形一章是初中解直角三角形知识的继续。

3.渗透“数形结合”的数学思想方法。运用正弦定理解三角形时,若已知三角形的两边和一对角,则存在有两个解,一个解和无解的三种不同情况,教材编写时,在例题求解过程的边框处,给出了这三种情况的图示,使学生能更加直观地了解产生解的个数不同的真正原因,同时,也对学生进行了“数形结合”的思维方式的训练。

4.为了使学生能初步掌握测量问题的解法,本章教材将测量中常见的两种情况,以一般性的问题形式提出,然后给出一个该问题中的实例,通过分析,设计出测量方案,然后求解计算。在上述过程中,教材关注了设计方案中,“如何确定观测点?”“需要测得哪几个数据?”等问题的探索,并指出解决这些问题的关键是构建以要测的高度和距离为一边的可解三角形。

第二章   

一、课程学习目标与教科书内容编排

1.主要内容编排

本章主要内容是数列的相关概念,等差数列和等比数列。全章共分三大节。

第一大节,是数列。首先以前言中从实例抽象出的几列数为例,引入了数列的相关概念,介绍了数列的一般表达形式。然后以函数的观点重新认识数列,并用函数的列表法和图象法表示了已知数列,给出了递减数列和递增数列的定义。本节后面安排了思考与讨论。数列的递推公式不在新课标的要求之列,故本节教材以选学的形式作了介绍。

本节最后在探索与研究中,介绍了由递推公式和初始条件求数列通项公式的常用方法,即归纳抽象.猜想.证明的方法。

第二大节,是等差数列。首先对几个具体的数列进行观察比较,找规律,找共性,从而得出等差数列定义及其相关概念。然后归纳出等差数列的通项公式。讲述了等差中项的定义及其计算公式,并用反序相加的方法,推导出等差数列的前n项和公式。思考与讨论提出2个问题,让学生自己去探索an Sn之间的关系,从而掌握已知Snan的方法和注意事项。

第三大节,是等比数列。首先由对几个具体数列所具有的共同特征的探讨,得出等比数列的定义和相关概念;然后归纳出等比数列的通项公式,讲述了等比中项的计算及其满足的关系式。在本节的思考与讨论,探索与研究中,引导学生运用从特殊到一般的推理方法,去归纳和发现一般性的规律。在第二小节中,教科书用了两种不同的方法,推导出等比数列的前n项和公式,并解决了本章前言中提出的“棋盘上放麦粒”的问题。

本章结束后,编排了有关数学文化的两篇小文章。

本章知识结构

 

2.作用与地位

数列是一种特殊的函数,它应用了函数的相关知识,又丰富了函数的内容。数列也是选修《数列与差分》和无穷数列极限的基础。

数列是刻画离散过程的一个重要工具,是反映自然规律的基本数学模型之一,它有着十分广泛的应用。

本章知识是在数学思维过程中展开的,它所运用的“归纳-猜想-证明”的思维模式,对增强学生的数学思维能力将起到十分重要的作用。

3.学习目标

1)了解数列的概念,掌握数列的几种表示法,了解数列是一种特殊的函数。

2)理解等差数列和等比数列的概念,会用定义判断已知数列是否是等差数列或等比数列,会求两个已知数的等差中项和等比中项。

3)掌握等差数列和等比数列的通项公式,前n项和公式,并能应用公式解决相关的问题。

4)能在具体的问题情景中,发现数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的实际问题。

5)体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。

6)培养数学思维能力,优化思维品质。学会观察、类比、归纳等思维方式,养成既能大胆猜想,又能严格证明的科学作风。

4.重点与难点

重点:数列的一般表示方法,等差数列、等比数列的定义,等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式及其应用。

难点:等差数列、等比数列通项公式、前n项和公式的推导,数列与数学其他知识的综合应用。

二、本章编写的指导思想

1.设置直观、生动的实际背景,使学生感到数学就在自己身边。如,引入等差数列的定义时,教科书设置的实际背景是鞋的尺码由小到大排成的一列数,使学生感到十分亲切。

2.强调本质,适度形式化。教科书除了给出数列的形式化的定义和一般表示法外,十分注重揭示数列是一种特殊函数的本质,并以函数观点给出了数列的列表和图象表示法。还配备了思考与讨论,使学生对数列的函数本质的认识得以深化。

3.注重提高学生的数学思维能力。本章知识自始至终贯穿了直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、运算求解、演绎证明等思维过程,和归纳-猜想-证明的思维模式。这些都有助于学生对客观事物中蕴涵的数学对象进行思考和作出判断,提高他们的数学思维能力。

4.注意信息技术与数学课程的整合。

本章教材前言中的第,个例子是操作计算器所得到的一列数: ,并在数列的递推公式一节中,写出了这个数列的递推公式. 。这是一个十分吸引学生,使其动手操作的例子。本章习题中还配备了计算机上的练习题,使信息技术与数列知识得到了恰当的整合。

5.增加教材的弹性,给出可供选择的余地。本章教材把新课标中没有涉及的“数列的递推公式”作为选学部分编为第2.1.2节,可供不同程度学校的教师和学生自行选择。

6.发展学生的数学应用意识。除了让学生体会到数学知识来源于客观世界以外,还应该让学生亲身感受到数学是解决实际问题的重要工具。本章教材在等差数列一节中,配备的例3,是家长为孩子办理“教育储蓄”的收益问题。问题的提出关系到学生的切身利益,问题的解决使学生看到了数列知识的实际应用价值。

7.注重体现数学的文化价值。本章的章头图是前言中所举实例中的关于兔子繁殖的有趣故事的图示,斐波那契数列是世界数学史上非常有名的数列,是人类智慧的结晶。本章最后编排了两篇十分生动、有趣的阅读与欣赏,使学生看到我国古代数学家在研究数列相关知识方面的重大成就。等差数列,等比数列所表现出的数的排列的规律是一种和谐美的展示,在学习这些知识时,学生会看到数学的美学价值。

三、本章编写时关注的几个问题

1.知识的展开过程应该自然而流畅。教材编写时,将数列的函数本质的揭示放在通项公式 的引出之后,使学生由表达形式 立即可想到这是一个以n为自变量的函数,由此研究序号n与项an的对应关系,得出数列是一种特殊函数的结论。这个过程十分自然流畅,毫无生硬之处。

2.给学生留出足够的自主探索,独立思考的空间。本章教材编写时,在页边处编排了十几个带有“?”的边框,使学生能在恰当的时机去思考应该解决的问题,以使他们对教材中的知识理解得更加深入、透彻。

3.培养学生严谨的科学作风。“观察、试验、归纳、猜想”是解决许多数学问题常用的探索过程,但猜想的结论是否正确还需严格的论证,有关数列的此类问题的证明方法大都采用“数学归纳法”,而此证明方法,学生将在选修系列2-2中学习。为了使学生认识到猜想出的结论不一定正确,养成严谨的科学作风,本章专门编排了探索与研究,举了一个猜想并不正确的实例。

4.把数列的本质是函数的观点贯穿于本章的始终。本章在第一节中得出数列是一种特殊的函数,由函数的单调性引出了递增数列、递减数列的定义。在第二节中,使学生看到等差数列通项公式和前n项和公式,表示了an n的一次函数或是常函数,Snn的二次函数(无常数项)。在第三节中,也指出当公比q>0q1和首项a11时,等比数列的通项公式即为n的指数函数式。

第三章  不等式

一、课程学习目标与教科书内容编排

1.主要内容编排

本章的主要内容是不等关系和不等式,不等式的性质,均值不等式,一元二次不等式及其解法,不等式的应用,二元一次不等式(组)与简单线性规划问题。本章共分五大节。

第一大节,是不等关系与不等式。首先通过两个实例说明量与量之间的不等关系是客观存在的,这种不等关系可以用不等式表示。两个实数之间的大小,可以用它们所对应的数轴上的两个点的位置,也可以用求差的方法去比较。

教科书以初中解一元一次不等式时对不等式所进行的变形为基础,全面讲叙了不等式所具有的重要性质,和应用性质证明最简单的不等式的方法。

第二大节,是均值不等式。首先给出了均值不等式,并用求差的方法,对该不等式作了严格的证明。然后给出了均值定理的文字表述,和该不等式的几何解释。最后通过三个例题说明了均值不等式在证明不等式和求函数最大值、最小值方面的应用。

第三大节,是一元二次不等式及其解法。首先由前言中的实例说明一元二次不等式是反映客观事物量与量之间关系的重要的数学模型之一。然后通过对二次函数图象的不同位置和因式分解的两种方法,研究了一元二次不等式的解法。最后通过描述一元二次不等式 的算法程序框图,总结了此类不等式求解的步骤。

第四大节,是不等式的实际应用。教科书中配备的三个例题,是与学生生活密切相关的住房采光问题,溶液配制问题以及前言中提出的达到小康生活水平的标准问题。通过具体例题讲述了运用不等式解决实际问题的求解步骤。

第五大节,是二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题。首先由学生在解析几何中所学的二元一次方程 。表示直角坐标平面上的一条直线l入手,继而讨论直线l上方和下方点的坐标(x0y0),对 正、负号的影响,总结出二元一次不等式表示直角坐标平面上,以相应的二元一次方程所对应的直线为界的一个平面区域的结论,和确定该区域在直线哪一侧的方法。

教科书用一个具体的实际问题,说明了线性规划的意义,及线性约束条件,线性目标函数,可行域,最优解等相关的概念,探讨了线性规划问题的求解方法。然后通过三个简单线性规划的例题(食品配制、货物调运、社区服务),展示了线性规划问题的广泛应用。

本章知识结构

 

2.作用与地位

不等量关系和等量关系同样是反映客观世界中的量与量之间最基本的数学关系。不等式与方程是解决数学问题的两个重要工具,它们在数学研究和解决实际问题中起着同样重要的作用。

不等式在中学数学中有着广泛的应用,如讨论方程或方程组解的情况;研究函数的定义域、值域、单调性、最大值、最小值;解决线性规划问题;讨论曲线的分布范围等,都需要用到不等式的相关知识。不等式在中学数学中占有重要的地位,也是进一步学习数学的基础之一。

3.学习目标

1)了解不等关系和不等式(组)的实际背景。会用作差的方法比较两个实数的大小。

2)掌握不等式的重要性质,初步掌握运用性质证明简单不等式的方法。

3)掌握均值不等式,会用均值不等式求函数的最大值、最小值。

4)掌握一元二次不等式的解法,了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程之间的关系。会应用不等式解相关问题和某些实际问题。能够设计一元二次不等式求解的程序框图。

5)了解二元一次不等式(组)的几何意义,会作出由它们所表示的平面区域。了解线性规划中的相关概念,会解简单的线性规划问题,提高应用数学的意识和解决实际问题的能力。

4.重点与难点

重点:一元二次不等式的解法,均值不等式的应用,二元一次不等式(组)表示的平面区域和简单线性规划问题的解法。

难点:不等式的性质及其证明,简单线性规划问题解法的探索。

二、本章编写的指导思想

1.注重基础。解不等式是中学数学的重要的基础知识之一,是解决数学中相关问题和某些实际问题的重要的工具。因此本章教材在初中已学过的一元一次不等式(组)解法的基础上,突出了一元二次不等式的解法,为解其他类型的不等式打下了基础,而淡化了比较重视技巧的不等式的证明。

2.注重实践性,发展学生的数学应用意识。不等关系、不等式、一元二次不等式和线性规划的相关概念及解法的探索,都是通过具体的实例引入的,使学生看到了数学概念、数学问题的实际背景,体会到数学源于实践。当学生掌握知识后,又通过例题,引导学生运用所学知识去解决实际问题,使他们体会到数学知识是解决实际问题的工具。教科书的编写基本遵循了“实践-理论-实践”的规律。

3.注重揭示知识之间的内在联系和数与形之间的相互转化。在探索一元二次不等式的解法时,揭示了二次函数,一元二次方程与一元二次不等式间的内在联系。在研究二元一次不等式(组)的几何意义时,揭示了二元一次方程与二元一次不等式间的内在联系。一元二次不等式的图象解法,是数与形结合和转化的极好例子。均值不等式的几何解释,使得抽象的数量关系变得直观和生动。二元一次不等式(组)和它所表示的平面区域,又使得数与形成为了一个不可分割的整体。

4.创设学生自主学习的空间,提倡勇于探索的精神。本章教材在边框中有四个标有“?”的思考题,在教材中安排了四个思考与讨论,两个探索与研究,为学生独立自主地思考、探索留出了足够的空间,也使教材中的知识得到了拓展;归纳出的结论得到了严格的证明;易出的错误得到了纠正。同时培养了学生勇于探索的精神。

5.融入算法思想。让学生通过设计一元二次不等式求解的程序框图,总结了一元二次不等式的求解步骤。

6.力争使教材内容富有时代气息。本章前言中所举实例,是全国人民都关心的建设小康社会的问题。在不等式的实际应用中的民用住宅的采光条件问题,在线性规划问题中的食物营养搭配问题,社区组织的献爱心活动问题,都十分符合我国当前的国情,富有时代气息。

三、本章编写时关注的几个问题

1.降低本章知识的起点,以初中所学一元一次不等式为基础,将数轴作为不等关系的直观表达。

2.让学生认识到“不等”与“相等”之间有着不可分割的内在联系,可以相互转化。在解一元二次不等式时,需要解相应的一元二次方程'在确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时,需首先确定作为该区域边界的相应的二元一次方程所表示的直线。在应用均值不等式时,要特别注意等号成立的条件。在本章小结中,提出了问题2引导学生去思考。

3.数学常用的表述语言为&文字语言,符号语言和图形语言。只有掌握了数学语言才能正确地进行数学思维。本章教材在编写时,特别关注了不同的数学语言的应用。对于两个实数的大小关系,除了用数轴表述外,又给出了文字语言的表述;不等式的重要性质,除给出了数学符号语言的表述外,也给出了文字语言的表述;对于由抽象的数学符号表述的均值定理,给出了它的几何图形的解释。

4.教科书中知识的展开符合学生的认识规律。在讲授新的知识时,力争让学生先在解决一个具体问题中去感受,去观察,然后抽象概括出一般性的结论。对于一元二次不等式的解法,教科书首先对给定的两个不等式探讨了图象法和化为不等式组的两种解法,然后再总结出在二次函数图象的三种位置关系中,一元二次不等式解集的不同形式,最后以程序框图的形式描述了求解一元二次不等式的算法过程。

5.分散难点,利于学生抓住本章教材各小节所要解决的主要问题。第五大节中的第一小节的例3和练习A中的第3题,其目的是使学生掌握应如何从线性规划问题的实际背景中布列线性约束条件,并画出相应的平面区域,以使在第二小节的学习中,学生能集中精力理解线性规划中的最优解求法的本质。这就使解有关线性规划的实际问题中的两个重点分散到两小节,有利于学习掌握。

6.培养学生触类旁通、举一反三的能力。在一元二次不等式及其解法一节中,把可以用化为不等式组求解的分式不等式放在页边的“?”框内,使学生能联想到分子、分母均为x一次式的分式不等式,可以仿照一元二次不等式,写出它们的解集。在探索与研究中,又引导学生把解一元二次不等式时,讨论在函数零点附近函数值符号变化的思想,运用到解高次不等式中。这种触类旁通的联想能力是学生学好知识所必须具备的能力,也是一种创新能力。