登录 / 注册 微信公众号

人民教育出版社首页 人教数字公司首页

扫一扫
关注官方公众号
"人教教材培训"

高中数学B版必修1第三章教学建议

高存明

第三章 基本初等函数学(Ⅰ)(14课时)

3.1 指数与对数函数

3.1.1 有理指数幂及其运算

1. 引导学生一步步地把正整数指数幂推广为有理指数幂。每一步推广都要指出它的合理性。通过具体实例,说明有理指数幂运算法则的合理性。对无理指数幂,要使学生理解它的存在性。

2. 在学生理解各种指数运算的基础上,还要通过实例,验证指数运算所要满足的运算法则。

3.1.2 指数函数

1.教材是通过两个具体实例引出指数函数的一般定义的。要根据研究函数的一般步骤研究指数函数的性质:分析指数函数的定义域、值域和单调性,直观分析指数函数的变化率。

2.指数函数的性质大多是从直观归纳出来的。教参中给出的指数函数单调性证明,是依据性质:当a > 1且x > 0时,> 1。这个性质与 是增函数是等价的,不用微积分,要严格证明这条性质也是十分困难的。当x为正整数时,可用二项式定理证明(设, 证明>1)。

3.2 对数与对数函数

3. 2. 1 对数及其运算

1. 对数运算是作为指数运算的逆运算引入的,由此可引导学生把指数运算的性质和运算法则转化为对数运算的性质和运算法则。

2. 教材是从指数函数引入对数运算的。主要考虑是把运算与函数关系联系起来,运算不过就是求函数值。在学习指数函数时,还是按传统习惯先学运算, 后学函数,当学完指数函数后,就想用函数的观点通过求函数值,引入对数运算。不少教师感到这种引入有些不习惯,我们是想用函数的观点,对这个传统内容进行创新,培养学生应用函数观点理解指数与对数运算的意识。教材处理的不太好,望大家在教学后提出改进意见,并能应用函数的观点,对这一内容进行再创造。

对数运算和对数函数可一次性引入,对数运算法则可作为对数函数的性质处理。不妨作以下尝试。在指数函数中,指数为自变量,在实数集任意给定一个指数,可算出唯一的幂值y(y>0);同样,如果把幂作为自变量x,对正实数集内任一个x值,相应的指数值y也是唯一确定的,即

这就是说,以指数幂为自变量,指数为因变量,它们之间同样存在函数关系。指数y又叫做以2为底, 幂x的对数。这种函数关系,叫做对数函数。我们常用符号“log”(logarithen的缩写)表示对数。则上述以2为底的对数函数,记做

x = 2时,

 

(因为2 = 21)

x = 4时,

 

(因为4 = 22)

x = 8时,

 

(因为8 = 23)

x = 16时,

 

(因为16 = 24)

x =时,

 

(因为)

x =时,

 

(因为)

 

……。

 

一般地,把“数y是数x以a为底的对数”记作:

读做“y等于x以a为底的对数”。当x当作自变量,在区间(0,+∞)内任取一个x值,都唯一确定一个函数值y,则以正实数集为定义域的函数称为对数函数。

引入对数和对数函数后,接着就可研究对数函数的性质和图象,对数的运算法则等。

3.2.3 指数函数与对数函数的关系

1.应向学生说明,当且仅当一个函数关系是一一映射时,它才存在反函数。

2.以具体的指数函数和对数函数为例引入反函数概念:

(1)检验指数函数在定义域到值域内是不是一一映射;

(2)对换函数中x与y的位置,即,再分析图象特征;

(3)给出反函数的定义;

(4)再举例子说明。

3.3 幂函数(1课时)

1. 降低教学要求,只要求了解幂函数的一般性质。记住如下一些幂函数的性质与图象:

2. 对学习较好的学生介绍凸函数,引导他们学习本节的探索与研究,研究函数的凸性。