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"人教教材培训"

《义务教育教科书·数学》六年级下册教材介绍

人民教育出版社

根据教育部颁布的《义务教育数学课程标准(2011年版)》,并结合过去十几年教师、学生及社会各界对教材提出的意见和建议,我们对《义务教育课程标准实验教科书 数学》(以下简称“实验教材”)进行了全面而系统的修订,形成了《义务教育教科书数学》。这套教材于20133月全部通过国家基础教育课程教材专家工作委员会的审查,并已于2012年秋季开始陆续使用,截至目前,所有年级都已全面使用修订后的新教材。

下面对六年级下册教材的编排思路及主要变化进行简要介绍。

本册教材主要包括下面一些内容:负数、百分数(二)、圆柱与圆锥、比例、数学广角——鸽巢问题。除此之外,和以往的人教版教材一样,本册教材编排了“整理与复习”,对小学阶段涉及到的数学概念、原理、性质、应用以及相关的数学思想、方法进行整理和复习。这一部分内容既是对小学阶段数学学习的总结,也是为学生升入初中奠定知识与方法的基础。

从总体框架上看,与实验教材相比,修订后的教材主要有两大变化:第一,把实验教材六年级上册“百分数”的内容分成两段,其中百分数的特殊应用(如折扣、成数、税率、利率等)移至六年级下册。第二,由于统计内容的整体调整,实验教材六年级下册的统计内容不再单独编写。除此之外,还有一些结构性的微调。例如,把实验教材六年级上册的实践与综合应用“合理存款”改编为“生活与百分数”,移至本册;同时,把实验教材六年级下册的“节约用水”移至六年级上册。再如,为了突出对数学思想与方法的整理与复习,教材在“整理与复习”中把“数学思考”从“数与代数”中分离出来,单独设立小节。在“综合与实践”的整理和复习中,保留了实验教材的“有趣的平衡”“邮票中的数学问题”,删去了“设计运动场”,新增了“绿色出行”和“北京五日游”。

除了以上的结构性调整,在具体编排上,为了更好地体现《义务教育数学课程标准(2011年版)》的理念,真正落实“四基”,发展“四能”,我们在很多内容的编排上进行了一些全新的尝试和探索,使得教材的内容结构更科学,素材资源更丰富,呈现方式更合理,更便于教师教和学生学。

一、负数

负数是《义务教育数学课程标准(2011年版)》第二学段规定的教学内容。对于小学生来说,从自然数到分数、小数,从正数到负数,认数的范围不断扩大。在小学阶段认识负数,既是学生数概念的一次拓展,也为进入中学学习有理数运算做好准备。

负数概念对于小学生来说比较抽象,因此《义务教育数学课程标准(2011年版)》要求学生“在熟悉的生活情境中,了解负数的意义,会用负数表示日常生活中的一些量。”事实上,负数最初也是在生活实践中产生的。让学生认识现实生活中的正、负数,理解负数表示的实际含义,是符合学生的认知特点的。因此,本册教材在编排中,注意为学生提供贴近生活、丰富多彩的素材。例如,例1、例2以学生熟悉的天气预报中气温的表示方法、银行存折中存入与支出的记录方法等素材,让学生了解负数在实际生活中是广泛存在的,从“表示相反意义的量”这一角度体会负数产生的必要性。尤其是例1,设计了六个城市气温预报的情境,呈现了12个数据,尤其是包含了3℃和-3℃、4℃和-4℃、0℃等特殊数据,这样的情境比实验教材中只出现一个负数的情境,显然要丰富得多。而在例1、例2后归纳正、负数的概念时,修订教材又做了细微的调整,先出现正数,再出现负数,有利于学生利用正数的意义去理解负数的意义,更好地体现正、负数表示相反意义的量

教材还在练习中提供了更多的现实材料,让学生在实际应用中加深对正、负数的理解。例如,用正、负数表示海拔高度、不同地区相对于某一地区的时差、食品实际净重与标准净重的差距,等等。这样的现实素材,不仅加深了学生对负数意义的理解,也让学生充分地认识到数系扩充的必要性,还有助于学生学会用数学的眼光观察与理解现实生活。

在此基础上,教材在例3中通过设计生动有趣的活动,联系方向与距离,让学生在直线上表示所学过的数,使学生之前形成的在数轴上表示自然数、小数、分数的直观模型进一步延伸,对于数轴上的点与数之间的一一对应关系、数轴上点的相对位置关系与对应的数的大小关系等,形成比较完整的认知。通过数形结合的方式,让学生在数轴这一直观模型中认识负数,可以使学生形成相对抽象的负数概念,为初中学习负数做好必要的铺垫。

二、百分数(二)

把“百分数”的内容拆分成两部分,一方面,可以适当减轻六年级上册教材的份量;另一方面,可以更好地分散难点,突出重点。六年级上册的教学重点是百分数的意义以及它的一般性应用,因百分数是一种“特殊的分数”,关于其意义及应用的学习,可由分数相关问题迁移类推过来。而折扣、成数、税率、利率,是百分数在实际生活中的特殊应用。这些内容的实践性很强,除了理解这些特殊百分数的意义、掌握一般性的数量关系之外,更需要学生理解很多“数学之外”的知识,如税务知识、金融知识等。

成数这一内容,实验教材把它编入“你知道吗”,只让学生简单了解。修订后的教材把折扣、成数、税率、利率作为百分数在实际生活中四类比较典型的应用,让学生统一认识,因此把成数也编排成正式教学内容。

关于折扣,由于现代商业活动中促销方式种类繁多,有时涉及的情形会很复杂。例如,教材新编了一道例题(例5),对实际生活中“满100元减50元”和“打五折”两种促销方式进行比较。实际教学中,除了计算两种促销方式下买230元的裙子分别需付多少钱,也可以让学生算一算不同的总价(如220元和280元)在“满 100元减50元”的促销方式下所对应的实际折扣分别是多少。使学生看到,同样是“满 100元减50元”,对于不同的总价,所享受的实际折扣是不同的。

关于税率和利率,虽然教材上呈现的都是相对简单的情境,但在实际生活中计算税额和利息时,难度并不在于数量关系的理解,而在于对实际生活中各种复杂情形的辨别和理解。例如,计算税额时,需要对税种、税率、起征额等概念有基本的了解。而计算利息的基本公式中涉及到本金、利率和存期三个变量,本身就比一般的百分数问题要复杂一些,除此之外,还要判断存的是活期还是定期,如果是定期的,是几年期的,对应的利率是多少……

为了进一步加强这些内容的现实性,提高学生的实践能力,在学完这一单元的内容之后,教材紧接着就安排了一个“综合与实践”活动“生活与百分数”,让学生真正走进生活,去了解生活中关于利率的各种信息,在真实的生活情境中应用数学。例如,设计一个合理的存款方案,使得收益最大化。

三、圆柱与圆锥

圆柱与圆锥是小学阶段“图形与几何”的最后一部分内容。关于圆柱与圆锥的认识、圆柱的表面积计算、圆柱与圆锥体积计算公式的推导与应用,都是比较传统的内容,因此从结构到具体内容,变动都不是很大。

值得一提的是在学习完圆柱的体积计算之后,教材新编了一道“问题解决”的例题(例7)。通过这一例题的教学,使学生真正经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的完整过程,并在此过程中进一步发展问题解决的策略,体会与掌握其中蕴含的数学思想。

教材是一种静态的呈现,而实际教学中可以更充分地让学生经历问题解决的动态过程。例如,教师可以直接出示一个空的矿泉水瓶,提问学生:这个矿泉水瓶的容积是多少?学生可能无处入手,也可能会通过寻找标签上的“净含量”来代替矿泉水瓶的容积。此时,教师可在肯定学生思路的基础上,引导学生回顾容积的概念,并找到解决问题的方向:假如瓶子里灌满了水,把这些水倒出来,用量杯或量筒测出水的体积就可以求出瓶子的容积。此时,教师进一步提出要求,要是没有这些工具,甚至连一个玻璃杯都没有,只提供水和直尺,怎么办?通过出示存了一部分水的瓶子,引导学生思考:此时瓶子的容积可由哪两部分组成?使学生观察到瓶子的容积由水的体积和空气的体积两部分组成,其中水的体积可以通过测量出水的高度和瓶子的底面直径并计算得到,可是空气部分是一个不规则的立体图形,无法直接求出体积。此时,再让学生思考:能否将空气部分变成一个规则的立体图形呢?引导学生把瓶子倒置,利用水和空气的易变形性,把空气部分变成一个规则的立体图形。在瓶子倒置前后,水的体积不变,空气的体积不变,因此,瓶子的容积等于倒置前水的体积加上倒置后空气的体积,这两部分体积都可以通过测量相关数据求得。

通过以上教学过程,我们可以看到,学生要解决的是一个非常规问题,很有挑战性,不是简单地套用公式就可以解决。通过学生的自主探究和教师的有效指导,共同找到“把瓶子倒置”这一解决问题的关键。而我们的目标也不仅在于解决这一具体的问题,更重要的是在这一过程中提高学生的问题意识,激发学生的探究欲望,在探究的过程中理解和掌握转化的思想,体会转化的实质是“变中有不变”。一道小小的例题,对于“四基”“四能”的落实,可见一斑。

此外,与实验教材相比,本单元对练习进行了精心的设计。例如,为了突出平面与立体之间的关系,教材编排了以下这样的练习。

通过这样的练习,使学生看到利用长方形旋转可以得到大小、形状不同的圆柱,从而建立起圆柱的底面半径、高与长方形的长、宽之间的对应关系,通过不同方向的旋转,发展空间想象能力。

再如,为了进一步巩固侧面展开图的边与底面周长的关系,使学生学会灵活运用两者关系解决问题,编排了下面的练习。

四、比例

比例是传统的教学内容之一,也是小学高年级学生需要学习和掌握的重要基础知识。这不仅是因为比例在实际生活中具有广泛的实用价值,如绘制地图、对图形进行放大或缩小等,更重要的是因为它是联结算术与代数的重要纽带。从学习比例开始,学生开始学会使用代数的思维去思考量与量之间的关系,培养初步的函数观念。学生升入初中以后,在数学、物理、化学等学科的学习过程中,有大量的问题需要学生利用比例的知识去解决。因此,在小学阶段掌握比例的相关知识,可以为中学的学习打下坚实的基础。

这部分教材的编排,基本沿用了实验教材的结构,但在一些细节处理上,进行了一些改进。

1.“比例的基本性质”中增加了让学生用字母来表示比例基本性质的内容,以促进学生思维的一般化。

2.将标题“成正比例的量”“成反比例的量”改成“正比例”“反比例”,更加突出量与量之间的“关系”,充分体现函数思想。

正比例关系和反比例关系是小学阶段接触到的两个基本函数关系,即使没有出现“函数”这一名词,也能同样反映出函数的本质。例如,函数概念中的对应性、变化性、变化的规律性在本单元中得以充分体现。在之前的学习中学生接触了大量的数量关系,如速度、时间、路程之间的关系,单价、数量、总价的关系等,积累了大量的运用数量关系解决实际问题的经验,这是本单元学习的重要基础和前提。在此基础上,需要将学生的算术经验逐步提升,通过简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量与变量的意义,理解相互依存的变量之间的变化规律,并会运用这种变化规律解决以前遇到过的算术问题。例如,归一、归总问题都是学生以前解决过的问题,但用算术方法解答时,都要先求出常量的具体值,再求出未知量,需要“二次”运用数量关系式。而用比例方法解答时,不需要计算出常量的具体值,只需根据变量之间的比例关系,列出关系式求解即可。

3.改编了正比例的素材

实验教材从底面积相同的水杯中水的高度与体积的变化规律来引入正比例,具有较强的直观性,也与反比例关系中的素材相呼应。但考虑到让学生从代数的角度来理解变量之间的变化规律时,最好还是从学生最为熟悉的数量关系入手,这样,便于学生在理解正比例关系时,将注意力集中于量与量之间的“联动变化规律”,而不必花费太多的时间用于数量关系的提炼。因此,教材选择了彩带的总价与米数之间的关系作为素材来引出正比例关系。

4.增加一道求比例尺的例题,同时,改编了应用比例尺画平面图的例题,降低了难度

比例尺的编排,在认识数值比例尺和线段比例尺概念之后,紧接着就让学生把线段比例尺改成数值比例尺(这是实验教材例1的内容)。同时,增加一道根据实际距离图上距离求比例尺的例题),以巩固比例尺的概念。

实验教材中编排了让学生画出篮球场平面图的例题,需要学生自己根据情形设定合适的比例尺,知识点较集中,对学生而言具有一定的难度。因此,修订后的教材在例3中编排了让学生根据给出的比例尺画出不同地方的相对位置,突出了根据实际距离和比例尺求图上距离的知识点。而对于需要学生自主确定比例尺画平面图的题目,则放在习题中让学生探索。

5.练习部分增加了一些有利于学生自主探究、有利于培养学生实践能力的综合性习题

例如,第58页第10题,要求学生用1200的比例尺,画出家里房子的平面图,可让学生先根据各个房间的方位关系画出草图,然后在家长的协助下完成实际测量任务,算出图上距离,并把草图修正为准确的平面图。

五、数学广角──鸽巢问题

本单元基本保持了实验教材中三个例题的知识点。但在例题教学前编排了一个老师给学生表演“魔术”的主题情境,引发学生浓厚的学习兴趣,从而产生探究魔术背后的数学原理的强烈欲望。

此外,教材对实验教材例2的相关数据进行了调整。实验教材例2研究的是把5本、7本、9本书放进2个抽屉时,有一个抽屉至少放多少本书的问题。当我们用书的本数除以抽屉数时,由于抽屉数是2,余数只能是1。例如,5÷2=2……15本书放进2个抽屉,有一个抽屉至少放3本书;7÷2=3……17本书放进2个抽屉,有一个抽屉至少放4本书;9÷2=4……19本书放进2个抽屉,有一个抽屉至少放5本书。由于余数是1,学生在归纳结论时容易得出“有一个抽屉至少放(商+余数)本书”的错误结论。因此,本次修订时,把抽屉改成3个,当书是7本时,商是2,余数是1,当书是8本时,商是2,余数是2。不管是余数是1还是2,结论都是“有一个抽屉至少放进3本书”,即“有一个抽屉至少放进(商+1)本书”。

除此之外,教材还编入了相关的阅读材料,使学生了解数学知识的背景,感受数学文化的熏陶。

六、整理与复习

体现义务教育的整体性,将整个义务教育阶段划分为三个学段,使各学段之间数学课程的联系更为密切了。但是由于诸多原因,目前我国绝大多数地区实际上仍然是小学和初中独立建校,使得小学和初中的教学基本上是分开进行的。而从小学到初中,学生学习的知识、学习的方法都发生了较大的变化。因此,在小学生完成学业之前,对小学阶段所学的数学课程内容进行一次系统、全面的整理与复习是非常必要的。通过整理和复习,对已学的数学知识加以巩固,尤其是使那些最为核心的基本概念、基本原理突显出来,为新知识的学习打下坚实的基础,顺利完成中小学数学学习的过渡。同时,“整理和复习”的设置也体现了学生学习数学的一般规律。数学教材中各类知识是分散编排、螺旋上升的,学生没有机会从更为宏观、更为总体的角度对这些知识进行全局性的把握和理解。在完成了小学数学全部内容的学习之后,进行总体性的整理和复习,可以进一步加强知识之间的联系,使原来分散学习的知识点串成知识线,再构成知识网,有助于学生融会贯通地理解数学,全面提升数学能力。因此,“整理和复习”单元不仅是本册教材的重点教学内容之一,也是全套小学数学教材的一个重要组成部分。


   
(一)基本知识的整理与复习


   
1.以点带面,突出核心概念、核心原理

与实验教材相比,修订后的教材在基础知识的整理和复习上不求面面俱到,而是突出重点,抓住主要内容、主要问题进行整理和复习。一方面使“整理和复习”摆脱了知识点罗列、概念与法则汇编的局面,另一方面也给学生提供了梳理知识脉络的线索。

例如,“数的认识”的复习,从第30届夏季奥林匹克运动会的真实情境入手,呈现了与运动会相关的各种数据,有整数,有小数,有分数,有百分数,有以“亿”或“万”作单位的数,有“负增长”,体现了数在实际生活中的广泛应用。在此基础上对各种数进行分类,使学生整体把握小学阶段数系的发展脉络,了解各种数之间的联系与区别,并对重要的基础性概念及相关重、难点进行复习,如数的顺序、数的大小、数位、进制、位值……

2.加强知识的横、纵向联系,帮助学生建立网络状的知识结构

与实验教材相比,修订后的教材更加关注知识之间的相互联系,更加关注不同形式的知识背后的内在一致性,促进学生对数学知识的深层理解。

例如,对整数、小数、分数的四则运算的意义和算法进行回顾,对它们的相同点和不同点进行分析,可使学生认识到:四则运算的意义并不会因为数的不同而发生变化,变化的只是描述的方式;而在不同形式的算法背后,也隐藏着许多共同的原理,例如,整数、小数、分数加法和减法实质上都是相同计数单位个数的累加或累减的过程。

再如,让学生对除法、分数、比三个概念进行比较,使学生深刻理解三者的联系与区别,并认识到“平均分”是三者之间存在诸多共同点的内在纽带。对平面图形面积计算公式和立体图形体积计算公式的全面整理,可以帮助学生理解这些公式之间的内在联系,而不仅仅是死记硬背这些公式。例如,以梯形面积计算公式S=a+bh为基础,当a=0时,就是三角形的面积计算公式;当a=b时,就是平行四边形的面积计算公式,当h等于边长时,就是长方形或正方形的周长。而圆也可以看成是一种特殊的底为圆周长、高是半径的三角形。


   
(二)基本技能的全面提升

通过整理和复习,教材力图使学生在运算能力、读图能力、操作能力、问题解决能力、空间想象能力、数据分析能力、实践能力等各方面都有显著的提升。

例如,教材在复习了平面图形的特征之后,编排了以下的“做一做”,使学生通过操作、推理,得出“平行四边形对边相等、对角相等”的结论。虽然在小学阶段无法对这一结论进行严格的几何证明,但通过操作,可以初步直观地体会这样的几何特征。而在这一过程中,又融合了平移、旋转等图形运动的知识。通过这样的练习,大大加强了学生综合运用各种数学知识的能力。

       

再如,教材非常重视学生实践能力的培养。除了编排一些实践性习题(如调查全班同学的近视情况)之外,在“综合与实践”的“整理与复习”中保留了原教材的邮票中的数学”“有趣的平衡两个活动,还新增加了绿色出行”“北京五日游两个活动提高学生在实际生活中综合运用各种数学知识的能力。如“绿色出行”,让学生通过计算,体会绿色出行的重要性;通过调查全班学生及家长的交通出行方式,提高学生收集、整理、分析数据的能力;通过以数据为基础倡导“绿色出行”,使学生建立“用数据说话”的理性思维,学会解决真正的现实问题积累实践经验发展实践能力

(三)基本思想的体会与掌握

为了体现《义务教育数学课程标准(2011年版)》的数学教育理念和目标,修订后的教材加强了数学基本思想的教学,使学生通过各种活动体会和掌握数学的基本思想。

数学思想在数学的整个学习中无处不在,在“整理和复习”中更为突出。例如,引导学生对学过的数和图形进行分类,使学生体会分类思想的重要性。再如,让学生用字母表示概念、公式、性质、运算律、规律、关系等,使学生理解和掌握抽象的数学思想。

为了突出本套教材对数学思想的重视,在“整理和复习”中特意把“数学思考”从“数与代数”中分离出来,单设一小节。一方面,通过具体问题的解决,提高学生的问题解决策略,另一方面,重点复习推理的数学思想和方法。其中例1和例2保留了实验教材的例题。例1主要教学归纳推理的思想,使学生通过观察直观图,发现点与点之间的线段数量与点数之间的变化模式。从具体的情境中发现模式,并把这一模式应用于更一般的情境,这一过程是培养归纳推理思想的重要途径。例2,除了让学生掌握列表这一特殊的问题解决策略,更重要的是让学生在解决问题的过程中掌握逻辑推理的方法。

3是让学生用等量代换的方法解决问题。

等量代换的思想与方法在初中数学学习中经常会用到,如解二元一次方程组所用的代入消元法就是典型的等量代换,运用等量代换的方法解决问题也是发展推理思想和能力的好机会。本例中的第(1)题,与运用代入消元法解二元一次方程组的本质完全相同。通过寻找两个式子中的共同量,利用“因为△=++□,所以△+=+++□,即□+++=24”等严密的数学推理,完成演绎推理的过程。第(2)题,以一个简单的数学问题,引导学生经历有理有据地进行推理的过程,感受推理的严谨性。此题的推理过程,已初显“形式化证明”的样子,也是为例4的学习进行铺垫。此题中,等式的两边都减去☆,用到了等式的性质1,而最后一步则是依据等式的性质3(等式的传递性,若a=bb=c,则a=c)进行推理,这是一种关系推理。

4要求学生推出图中的∠1=3

此处并非是教学真正意义上的“几何证明”,更不要求学生记住“两直线相交,对顶角相等”的结论,而仅是让学生初步运用一些“公理”(如等式的性质)和例3中的等量代换思想进行演绎推理。实际教学中,不要求学生会书写规范严谨的证明过程,但需要学生学会用“说理”的方式证明结论。

(四)基本活动经验的不断积累


   
整理和复习的过程,也是学生继续积累数学的基本活动经验的过程。教材的编排体现了很大的开放性,为学生提供了自主复习的空间,需要学生通过自己归纳、总结、整理,进行自我建构,形成个性化的知识结构。在这一过程中,学生可以积累各种经验,如对知识分门别类进行整理的经验、梳理知识之间联系的经验、综合运用各方面知识解决实际问题的经验、在生活实践中应用数学的经验……这些经验的获得,有助于学生构建适合自己的、合理的、高效的数学学习方法体系,从而在数学学习上取得良好的发展。