登录 / 注册 微信公众号

人民教育出版社首页 人教数字公司首页

扫一扫
关注官方公众号
"人教教材培训"

八年级下册第二十章《数据的分析》教材介绍

王 嵘

从《标准》看,本章属于“统计与概率”领域。对于“统计与概率”领域的内容,本套教科书独立于“数与代数”和“图形与几何”领域编写,共三章。这三章内容采用统计和概率分开编排的方式,前两章是统计,最后一章是概率。统计部分的两章内容按照数据处理的基本过程来安排。七年级下册第10章为“数据的收集、整理与描述”,本章“数据的分析”主要学习分析数据的集中趋势和离散程度的常用方法。

全章教学约需12课时(不包括选学内容的课时数),具体内容和课时分配如下:

201 数据的集中趋势            5课时

202 数据的波动程度            3课时

203 课题学习                      2课时

数学活动

小结                                      2课时

一、教科书内容和本章学习目标

(一)本章知识结构框图

本章主要研究平均数(主要是加权平均数)、中位数、众数以及方差等统计量的统计意义,学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况,并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差,进一步体会用样本估计总体的思想。

本章知识展开的结构框图如下:

(二)教科书内容

20.1节,教科书分两小节研究了加权平均数,中位数和众数。

20.1.1小节,教科书研究了加权平均数,包括权的意义、作用和不同的形式。首先,教科书设计了以招聘英文翻译为背景的实际问题,根据不同的招聘要求,各项成绩的“重要程度”不同,从而平均成绩不同,由此引入加权平均数的概念。“权”的重要性在于它能够反映数据的相对“重要程度”,为了更好地说明这一点,教科书设置“思考”栏目和例1,从不同方面体现“权”的作用,使学生更好地理解加权平均数,体会“权”的意义和作用。求加权平均数的问题形式多样,教科书在问题1和例1之后,又介绍了两种:一是在求n个数的算术平均数时,有时会遇到重复数据较多的情况,这时可以将求算术平均数的公式进行简化,比如可以写成,此时可以看成是的权,只是这里“权”的意义并不是很突出;二是通过一个探究栏目,研究了对于区间分组的数据如何求加权平均数的问题,这类问题是统计中常见的。通过不同形式的问题,教科书希望学生能对加权平均数有一个全面的认识。最后,教科书结合例3,介绍了如何利用样本平均数估计总体平均数的问题,使学生对抽样的必要性、样本的代表性和用样本估计总体的思想有了更深的体会。

20.1.2小节,教科书研究了中位数和众数。中位数是一个反映数据集中趋势的位置代表值,能够表明一组数据排序最中间的统计量,可以提供这组数据中,约有一半的数据大于(或小于)中位数。众数是表明一组数据出现次数最多的统计量,当一组数据有较多的重复数据时,众数往往是人们所关心的一个统计量,它提供了哪个(些)数据出现的次数最多。对于中位数和众数的作用,教科书安排了层层递进的几个问题来研究。问题2是一个典型的员工收入问题,其情境蕴含了引入中位数和众数的必要性,并由此引入中位数和众数;例4和例5分别利用体育比赛问题和销售量问题说明了中位数和众数的作用;例6是一个综合利用平均数、中位数和众数解决问题的例子,在这个例子中,涉及到根据具体问题的的需要选择适当的统计量来刻画数据的集中趋势的问题,在解决问题的过程中,也让学生经历一个对数据适当分组、用表格整理数据、用统计图描述数据,分析统计图表和计算平均数、中位数、众数来分析数据的一个数据处理的基本过程。在本节最后,教科书利用一个归纳的栏目,对平均数、中位数和众数这三种刻画数据集中趋势的统计量进行了概括总结,突出了它们各自的统计意义和各自的特征。

20.2节,教科书研究了刻画数据波动程度的统计量。统计中刻画数据波动程度的统计量常有极差、方差、标准差、平均差、四分位差等,根据《标准》的要求,本章只研究方差,它是统计中常用的一种刻画数据波动程度的统计量。教科书根据农科院选择甜玉米种子的背景提出问题,从统计上看,这个问题是要计算两组数据的平均数和比较它们的波动情况。通过计算可知两组数据的平均数是相同的,这一点有利于学生理解数据的波动情况。为了直观看出数据的波动情况,教科书画出了两个散点图,通过观察散点图,可以比较两组数据的波动情况。这两个散点图使学生对数据偏离平均数的情况有一个直观的认识。在此基础上,教科书引进了利用方差刻画数据离散程度的方法,介绍了方差的公式,并从方差公式的结构上分析了方差是如何刻画数据的波动的,即方差越大,数据的波动越大,方差越小,数据的波动越小。将利用方差刻画数据的波动和利用散点图显示数据的波动结合起来,更有利于学生理解方差的意义。

20.3节,教科书安排了一个具有一定综合性和活动性的“课题学习”。这个“课题学习”选用了与学生生活联系密切的体质健康问题。由于本章是统计部分的最后一章,因此这个课题学习的综合性比前一章统计中的课题学习更强。为了便于教学操作,教科书根据《中学生体质健康登记表》提供了一个样例,样例中涉及到选择样本收集数据、用统计表图整理和描述数据,通过计算平均数、中位数、众数和方差等分析数据得出结论的统计过程。完成这个课题学习,要求学生综合运用本章以及以前所学有关数据处理的知识和方法,通过小组合作活动的方式,经历数据处理得出结论以及对所得结论进行解释和反驳的统计过程。在这个过程中让学生进一步感受用样本估计总体的统计思想,进一步体验统计是进行决策的有利手段。

在本章中,计算器的统计功能可以方便地求出一组数据的平均数和方差,但由于不同品牌的计算器的操作步骤不同,因此教科书没有针对某一款计算器介绍统计功能的使用,而是概要地介绍了一下过程。

(三)本章学习目标

学习完本章内容,应达到以下几方面要求:

1.理解平均数、中位数和众数的统计意义;

2.会计算中位数、众数、加权平均数,能选择适当的统计量表示数据的集中趋势;

3.理解方差的统计意义,会计算简单数据的方差;

4.能用计算器的统计功能进行统计计算,进一步体会计算器的优越性;

5.会用样本平均数、方差估计总体的平均数、方差,进一步感受抽样的必要性,体会用样本估计总体的思想;

6.从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动,经历数据处理的基本过程,体验统计与生活的联系,感受统计在生活和生产中的作用,养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度。

二、编写时考虑的几个问题

1.以统计思想为主线,强调统计量的意义

统计中常常采用从总体中抽出样本,通过分析样本数据来估计和推测总体的情况,用样本估计总体是统计的基本思想。这一基本思想贯穿了本章始末,即教科书在每一节都注意体现了用样本估计总体的思想,研究了如何用样本的集中趋势和波动程度估计总体的相应情况,使学生对抽样的必要性、样本的代表性、用样本估计总体的可行性,以及不同的抽样可能得到不同的结果等有更多体会。例如在20.1节通过实例学习了如何用样本的平均数、中位数和众数估计总体的相应情况,在20.2节通过实例研究了如何用样本的方差估计总体的方差的问题,在20.3节的课题学习中也要让学生通过抽样进行统计调查活动,通过对样本数据的分析得出对总体的估计等。

用于分析数据的统计量,如平均数、中位数、众数和方差等,教科书强调其统计意义的理解,如反映了数据哪方面的特征,各自的特点是什么,如何利用它们获得更多的信息等。因此,教科书在引入时,关注其必要性,例如选用典型的员工收入问题,让学生思考平均数代表数据的优势和局限性,从而引入中位数和众数;应用时,注意采用解释、比较和选择等多种方式让学生理解统计量的意义,如教科书的例题和习题创设了分析、选择恰当统计量解决问题的情境,并在此基础上进行比较、总结,归纳出统计量各自的特点。

2.通过活动,建立统计观念、突出数据处理的基本过程

统计观念反映的是由一组数据所引发的想法、能推测到的可能结果以及自觉地想到用统计的方法解决问题等,是在亲身经历统计活动的过程中培养出来的一种感觉。培养统计观念的一种最有效的方法是让学生从事统计活动,经历统计活动的基本过程,在收集、整理、描述和分析数据的统计活动中,逐步学会用数据说话。本套教科书特别注意让学生经历统计活动的基本过程,在活动中学习有关统计的知识和方法,建立统计观念。例如,对于“统计与概率”领域中统计的内容,全套教科书以数据处理的基本过程为线索,按照数据的收集与整理、数据的描述、数据的分析来安排统计内容。在每一章中,对于统计的知识和方法又都是放在数据处理的基本过程中来学习的,本章也是如此。例如,本章在研究选择适当的统计量刻画数据的集中趋势的问题时(例6),教科书从一个实际问题出发,要求学生通过活动,经历数据处理的基本过程,在这个过程中,学习根据实际问题的需要,依照各统计量的特征来选择它们描述数据的集中趋势。再如,本章第20.3节的课题学习,强调让学生综合利用所学的统计知识和方法,通过调查活动获得一些信息。动手处理数据并展示自己的成果是一个活动性很强,并且充满乐趣的过程,在这个活动中,学生将经历收集、整理、描述和分析数据得出结论,并对结论进行解释或反驳的过程。这样的一种处理方式,将统计的概念、方法与原理统一到数据处理的活动过程中,使学生更好地体会统计的思想,帮助学生建立统计观念。

3.选取丰富的素材,体现统计与生活的密切联系

统计与现实生活的联系是非常紧密的,这一领域的内容对学生来说应该是充满趣味性和吸引力的,本套教科书编写时特别注意将统计的学习与实际问题紧密结合,选择典型的、学生感兴趣的和富有时代气息的现实问题作为例子,在解决这些实际问题的过程中,学习数据处理的方法,理解统计的概念和原理,本章亦是如此。例如,在第20.1节中,教科书利用 “公司招聘职员”“演讲比赛成绩”“公共汽车载客量”“灯泡的使用寿命”等实际问题来学习加权平均数,利用“体育比赛成绩”“鞋店销售量”等学习中位数和众数,在解决实际问题的过程中体现加权平均数、中位数和众数的统计意义;又如,在20.2节中,借助于“年龄”“身高”“选择甜玉米种子”等实际问题,研究方差,结合这些实际问题情景,使学生更好地理解方差的统计意义;再如,在第20.3节中,教科书选择了一个与学生生活密切联系的“体质健康测试中的数据分析”作为“课题学习”,使学生综合运用本章知识和方法进行统计活动。这样的一种与实际问题紧密结合编写方式,可以使学生在解决实际问题的过程中,学习有关的统计知识和方法,体会统计的思想,同时也使学生感受到统计与实际生活的密切联系,以及统计在解决现实问题中的作用。

三、对教学的几个建议

1.注意与前两个学段相关内容的衔接

本章是第三学段“统计与概率”的最后一章,主要学习分析数据集中趋势和离散程度的知识与方法,这也是数据处理的最后一个环节。对于数据的分析,《标准》在第2学段和本学段都有要求,第2学段要求“体会平均数的作用,能计算平均数,能用自己的语言解释其实际意义”,这样看来,对于分析数据集中趋势的平均数,学生在第2学段已经有所接触,已经会求平均数;《标准》在本学段要求“理解平均数的意义,能计算中位数、众数、加权平均数,了解它们是数据集中趋势的描述;体会刻画数据离散程度的意义,会计算简单数据的方差”。这样看来,本学段在第2学段的基础上,需要学习利用加权平均数、中位数和众数刻画数据的集中趋势以及用方差刻画数据的离散程度等。据此,本章在编写时,注意与前两个学段的衔接,将三个学段的相关内容,在分析数据的这个大背景下统一起来,在对学生已有的相关知识进行复习的基础上学习新的知识。例如,对于平均数,本章就是在研究数据集中趋势的大背景下,在复习学生已有的关于其认识的基础上,学习加权平均数、中位数和众数,研究如何根据统计量的特征选择适当的统计量描述数据的集中趋势等。这样的一种编写方式,将三个学段的学习连成一个相互联系、螺旋上升的整体。因此,教学中要注意对已有知识的复习,在复习的基础上学习新内容,使学生对于分析数据的知识和方法形成整体认识。

2.准确把握教学要求

对于统计中一些重要的思想方法,本套教科书采用螺旋上升的编排方式。例如,关于用样本估计总体的思想,《标准》在本学段要求“体会样本与总体的关系,知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差”等。对于《标准》的这个要求,教科书在第10章“数据的收集、整理与描述”和本章都有安排,但在要求上有不同的层次。第10章从收集数据的角度研究抽样调查,要求初步感受抽样调查的必要性,初步体会用样本估计总体的思想;本章要求通过较多实例,从不同的方面进一步感受抽样的必要性,并初步感受样本的代表性,体会不同的抽样可能得到不同的结果,能够用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差等。因此,在本章教学时,要注意把握教学要求。

3.合理使用计算机(器)

信息技术的发展给统计学的研究带来很大变化,为统计工作的高效、准确提供了便捷的工具。对于计算机(器)等现代信息技术对统计的作用,本套教科书给予充分重视。本章中,编写了使用计算器求一组数据的平均数和方差的内容作为必学内容,还编写了利用计算机求平均数、中位数、众数和方差等集中统计量的内容作为选学内容等。教学中要注意发挥计算器(机)在处理数据中的作用,也要注意合理地使用计算器(机)。比如,在初学加权平均数和方差的概念时,应该让学生使用笔算或使用计算器的一般计算功能进行计算,使学生对求加权平均数方法和方差的结构有更多的理解,在此基础上,再学习使用计算器的统计功能求平均数或方差的方法,将学习重点放在理解统计思想和从事统计活动上来。