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"人教教材培训"

附录2 内容标准及实施建议中的实例 第三学段 综合与实践

74  直觉的误导。

有一张8 cm8 cm的正方形的纸片,面积是64 cm2。把这张纸片按图24-1所示剪开,把剪出的4个小块按图24-2所示重新拼合,这样就得到了一个长为13cm,宽为5cm的长方形,面积是65 cm2。这是可能的吗?


24-1                           24-2

[说明]这是一个直觉与逻辑不符的例子,希望学生通过学习体会到:对于数学的结论,完全凭借直觉判断是不行的,还需要通过演绎推理来验证。

一般来说,学生应当是不会相信图24-2中纸片的面积是65 cm2,但又无法说明为什么观察的结果是错误的。进一步引导学生思考,如果观察是错误的,那么错误可能出在哪里呢?学生通过逻辑思考,可以推断只有一个可能:图24-2中纸片所示图形不是长方形,因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积。然后,可以引导学生实际测量图形左上角或者右下角,发现确实不像是直角。可以告诉学生,这个想法是正确的,但最好能够给出证明,引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。

在实际教学中可以引导学生先看图,再让学生分组将图剪开,动手操作发现矛盾(64=65?)。然后,尝试找出理由并尝试证明,最后表达收获。

可以采用如下反证法证明,在证明过程中加深对相似图形的理解。

如图25,过DAC的垂线交AC于点F。假定图24-2中的图形是长方形,那么图形的右下角就应当是直角,则在图25中有∠1+3=90°。因为∠2+3=90°,所以∠1=2。由相似三角形的判定定理,可知两个直角三角形△ABC与△DEF相似。由相似三角形对应边成比例,应当有:,即,这是不可能的,因此图24-2中的图形不可能是长方形。

由于,这个差很小,因此会造成我们视觉的误差,把图24-2中的图形判断为长方形。

25

教学中可以鼓励学生运用不同的方法对此问题进行解释。

75 从年历中想到的。

观察几个年份的年历和月历,思考下面几个问题:

1)在同一年的月历中,哪些月份的“月历表”的排列是基本一致的?

2)有一种计算机病毒叫“黑色的星期五”,当计算机的日期是13日又是星期五时,这种病毒就发作。已知2009213日是“黑色的星期五”,请找出接下来的4个“黑色的星期五”。

3)对于学有余力的学生,可以探索下面的问题:

许多人都认为,“办喜事”最好是“66星期六”,可是有人说:“这样的日子是千载难逢”,你同意这种说法吗?你能找出几个“66星期六”的具体年份吗?

[说明] 这是一个通过对日常生活观察、发现某些规律的开放性问题,可以根据学生的学习情况,提出不同层次的问题。每一个问题的设计,都是为了让学生学会观察、思考和质疑,提高学生学习数学的兴趣,体会模型思想。

问题(1)是让学生学会观察、学会提问题。这个问题的入手点低,每个学生都能参与,都能有所发现,并且可以培养学生“分类讨论”的意识,分平年和闰年:平年时,1月、10月,2月、3月、11月,4月、7月,9月、12月的月历表基本一致;闰年时,1月、4月、7月,2月、8月,3月、11月,9月、12月的月历表基本一致。引导学生在貌似杂乱无章中发现规律,利用规律感悟周期现象。

问题(2)中接下来的4个“黑色的星期五”是:20093132009111320108132011513日。解决问题的方式较多,可以利用对问题(1)发现的规律来思考。也可以充分利用信息工具,如从网上找一个“万年历”的小软件用于观察发现。

问题(3)中最近的几个“66星期六”的日子有1992年、1998年、2009年、2015年、2020年,因此“千载难逢”的说法不对。更加理性的思考是:闰年的周期大体上是“4”,星期的周期是“7”,所以年历的变化周期“大体上”不会超过47 =28。一旦找到了一个“66星期六”的日子,如1992年,“大体上”可以猜测1992+28=2020(年)的66也是星期六。也可以让学生思考:为什么是“大体上”?例外发生的条件是什么?

76 包装盒中的数学。

1)让学生分组收集一些商品的空包装纸盒,请大家分别计算出它们的体积和表面积。

2)请学生将这些盒子拆开,看一看它们是怎样裁剪和粘接出来的。

3)给一个矩形纸板(如A4纸大小),让学生根据上面的发现,裁剪、折叠出一个无盖长方体的盒子,并计算出它的体积。

4)同组同学之间比较结果,分析谁的体积比较大?分析怎样能制作一个体积更大(最大)的盒子(只是实验、比较,不要求证明)。

5)结合一种具体的待包装物体(如5本书或2个茶杯)设计一个包装盒,使这个盒子恰能包容它们,如有可能实际做出这个盒子。

[说明] 这是一个过程比较长的活动,可以引导学生体验一个比较完整的问题解决过程。让学生收集包装盒、拆开观察是一个很有益的过程,能很好地启发学生如何寻求解决后面问题的思路。问题(5)是一个实际应用,它的结果不唯一,可以交流展示学生的成果,请学生说明制作过程中的关键数据是如何得到的,裁剪方案是如何形成的。

77 看图说故事。

如图26,设计两个不同问题情境,使情境中出现的一对变量满足图示的函数关系。结合图象,讲出这对变量的变化过程的实际意义。

QQ截图未命名

26

[说明] 通过这个活动,激发学生自己思考并构造出满足特定关系的函数实例,以加深对函数的理解。

学生可以设计多种情境,比如,把这个图看成“小王骑车的s-t图”,可以说出下面的故事:小王以400/分的速度匀速骑了5分,在原地休息了6分,然后以500/分的速度匀速骑回出发地。

再比如:有一个容积为2的开口空瓶子,小王以0.4/秒的速度匀速向这个瓶子注水,注5秒后停止,等6秒,再以0.5/秒的速度匀速倒空瓶中的水。

教师可以鼓励学生,创设不同的符合函数关系和实际情况的情境。

78 利用树叶的特征对树木分类。

1)收集三种不同树的树叶,每种树叶的数量相同,比如,每种树选10片树叶。

2)分类测量每种树叶的长和宽,列表记录所得到的数据。

3)分别计算出树叶的长宽比,估计每种树树叶的长宽比。

4)验证估计的结果。

[说明] 我们可以抓住树的某些特征对树进行分类,本例是利用树叶的数据特征来对树进行分类。

本活动适用本学段的各个年级,要求可以不同。学生先通过数据收集和分析知道一些树的树叶的长与宽的比;对于新采集到的树叶,通过长与宽的比来判断这个树叶是属于哪种树。这一学习活动有利于培养学生的数据分析意识,体会有许多事情通过数据分析可以抓住本质。知道数据不仅仅是别人提供的,还可以自己收集;对于同一种树,树叶长与宽的比也可能是不一样的,进一步感受数据的随机性;体会只要有足够的数据,就能够分析出一些规律性的结论。

教学中可以作如下设计:

1)建议采用小组活动的形式,学生通过合作交流可以获得较多的数据和信息。

2)为了使分析的结果更加明显,最好选择树叶区别较大的三种(或者更多)树、而每种树选择的树叶的大小要接近,即区别要小一些。

3)“估计每种树树叶的长宽比”的方法可以是多样的,比如,对于每种树的10片树叶都测量了长和宽以后,可以用10个比值的众数,也可以用10个比值的中位数,还可以把长和宽各自相加后,取和的比值。针对这个问题,用后一种发方法比较合适。

4)取一片新的树叶,通过这片树叶的长宽之比、参照(3)的估计结果,来判断这片树叶属于哪种树。学生会发现,即使是同一棵树,树叶长与宽的比值恰好等于估计值的可能性也很小,这体现了数据的随机性。可以进一步启发学生考虑一个合理的方案:只要比值大概等于估计值,就可以认为是同一种树,也就是说,需要构造一个以估计值为中心的数值区间,当新取的树叶的长宽比值属于这个区间时就认为属于这个树种。如何合理地构造这个数值区间是重要的,区间太短则可能拒绝同类树种,区间太长则判断的精度就要差。可以考虑下面的方法:当估计值是平均数时,区间为平均数±σ,或者平均数±2σ,其中σ是样本标准差。让学生感悟决定数值区间的道理(可以告诉学生,进一步的学习,将会从理论上计算区间的长度)。

这个问题可以举一反三。

79 利用几何图形研究代数问题。

对于给定的两个数xy,求使得达到最小的b,也就是说要找到一个b0,使得对任意的b

[说明] 利用直角坐标系,不仅能够推导出几何图形的代数表达式,还能够利用几何图形来研究代数问题,这是帮助学生建立几何直观的有效途径。

可以把给定的两个数看作数对,对应于二维平面的点(如图27),用A(xy)表示。对于任意数b也可以看做数对(bb),用点B(bb)表示。

27

回忆关于直线的学习,由图27可以看到,点B(bb) 位于通过第一象限、与横坐标倾斜45°角的直线上。我们的问题用几何语言可以表述为:在这条直线上寻找一点,使得这一点到给定点A(xy)的距离最短。显然,这一点应当是点A(xy)到直线的垂足,设其为B(b0b0)。因为

由图27,我们可以把上式左边看做线段AB长的平方,上式右边第一个中括号中的两项之和看做线段AB′长的平方,最后一项看作线段BB′长的平方,因为B′是A到直线的垂足,由勾股定理,上式右边第二项应当为0,即(x-b0) + (y-b0)=0,可以得到b0=(x+y)

从上面的计算结果可以看到,b0正是xy的算术平均数。上面的证明方法和结果可以推广到n个数据,即对于给定的n个数 x1,…,xn,使得

达到最小的b (x1++xn),这是n个数据的平均数。在“统计与概率”中,通常称上式为离差平方和。如果把n个数据看做样本,那么样本平均使样本的离差平方和达到最小,因此在“统计与概率”中经常会用到样本平均。

实施建议

80 “零指数”的教学设计(第三学段)。

本实例希望体现课程目标在课堂教学中的整体落实——通过本节课的学习,学生不仅理解和掌握有关的知识技能,而且初步了解指数概念是如何扩充的,感受零指数“规定”的合理性。

通过计算提出问题:如果应用同底数幂的运算性质,可以得到。那么有什么意义呢?等于多少呢?我们需要做出解释,数学面临了挑战。

我们先回顾简单的事实:,于是可以自然提出猜想:=1,然后采用各种途径引导学生感受规定“=1”的合理性。例如:

用细胞分裂作为情境,提出问题:一个细胞分裂1次变2个,分裂2次变4个,分裂3次变8个……那么,一个细胞没有分裂时呢?

观察数轴上表示2的正整数次幂16842等点的位置变化,可以发现什么规律?

122

28

再观察下列式子中指数、幂的变化,可以发现下面的规律:

 

这样,在学生感受“=1”的合理性的基础上,做出零指数幂意义的“规定”,即

在规定的基础上,再次验证这个规定与原有“幂的运算性质”是无矛盾的,原有的幂的运算性质可以扩展到零指数。例如,计算

运用幂的运算性质 

根据零指数幂意义的规定 

综上,学生在学习“零指数”时将经历如下的过程:面对挑战进行思考提出“规定”的猜想通过各种途径说明“规定”的合理性做出“规定”验证这种“规定”与原有知识体系无矛盾指数概念和性质得到扩展。

这样的过程较充分地体现了数学自身发展的轨迹,有助于学生感悟指数概念是如何扩展的,他们借助学习“零指数”所获得的经验,可以进一步尝试对负整数指数幂的意义做出合理的“规定”。这样的过程较充分地展示了“规定”的合理性,有助于发展学生的理性思维。

81 百分数的认识(第二学段)。

上课开始,教师与学生共同展示自己收集的生活中的“百分数”例子,比如,在饮料的包装盒上、在衣服的标签上、在报纸上、在玩具的说明书上,学生们发现了很多的百分数。教师要引发学生对这些新认识的数的兴趣,并鼓励学生对于百分数提出问题。比如:

1)人们为什么要用百分数?

2)百分数与分数有什么区别?

3)百分数是什么意思?

4)百分号是怎么写的?

5)百分数是干什么的?

在此基础上,教师可以与学生一起把问题归纳为:

1)为什么要用百分数?

2)在什么情况下用百分数?

3)百分数是什么意思?

4)百分数与分数有什么联系?

在对问题进行归纳后,可以让学生分小组尝试回答这些问题,然后教师和学生共同提炼出本节课所要学习的知识。在这些基础上,教师可以进一步引导学生考虑:还可以创造什么数?如果学生的思维活跃,可能会提到十分数、千分数等。这个过程,不仅促使学生对知识的理解更加深刻,而且也能鼓励学生思维的创新。

82 开放式问题及其评价。

活动问题:晚会奖品。

问题:在一次晚会上,6份相同的奖品被藏了起来。请两位同学李明和王佳一起去找这些奖品,直到6份奖品全部被找到。两位同学找到奖品的数量可能是多少?

把两位同学找到奖品的数量列在下表中。(表中已经列举了一种可能的情况)

李明找到的奖品数

0

 

 

 

 

 

 

王佳找到的奖品数

6

 

 

 

 

 

 

请你解释为什么王佳不可能恰好比李明多找到1份奖品。

解决方案:

两位同学找到奖品的数量有下面7种可能的情况:

李明找到的奖品数

0

1

2

3

4

5

6

王佳找到的奖品数

6

5

4

3

2

1

0

只有当奖品总数是奇数的时候,两个人所找到的奖品数一个是奇数,一个是偶数,这时王佳才可能比李明多找到1份奖品。由于6是偶数,它是两个奇数或两个偶数的和,因此,王佳不可能恰好比李明多找到1份奖品。

评分指南:

 

一级水平

二级水平

三级水平

四级水平

数学准确性和方法

没有指出李明和王佳找到的奖品的所有可能情况。

指出了李明和王佳找到奖品的所有可能情况,但没有系统的方法。

指出了李明和王佳找到奖品的所有可能情况,运用了比较系统的方法。

指出了李明和王佳找到奖品的所有可能情况,运用了非常系统的方法。

解释的合理性

没有理解问题或者没有认识到王佳不可能比李明多找到1份奖品。

试图回答问题但没有认识到王佳不可能比李明多找到1份奖品。

解释中涉及了一些关于奇数和偶数的内容,但不清楚。

解释充分说明了为什么王佳不可能比李明多找到1份奖品。

下面是一个学生的答案,被评为水平三:

李明找到奖品的数量

王佳找到奖品的数量

0

3

5

1

6

4

2

6

3

1

5

0

2

4

解释为什么王佳找到的奖品数不可能恰好比李明多1份?

王佳不可能恰好比李明多找到1份,因为6是个偶数,它有许多分解的方法。

这个回答运用列举的方式找出了所有可能的组合。学生正确地指出王佳不可能恰好比李明多找到1份奖品,并且认识到了这和奇数、偶数有关。但是,原因说明得不够清楚,也许他还没有完全理解。所以评为水平三。